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快速幂取模算法

By Wu Yudong on September 26, 2015

所谓的快速幂,实际上是快速幂取模的缩写,简单的说,就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中,经常要去求一些大数对于某个数的余数,为了得到更快、计算范围更大的算法,产生了快速幂取模算法。

我们先从简单的例子入手:求abmodc

算法1.直接设计这个算法:

int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

缺点:这个算法存在着明显的问题,如果a和b过大,很容易就会溢出。

我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先看这样一个公式:amod c = (a mod c)mod c

于是不用思考的进行了改进:

算法2.改进算法:

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

读者应该可以想到,既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也可以进行取余,所以得到比较良好的改进版本。

算法3.进一步改进算法:

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余
}
ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法。

算法4.快速幂算法:

快速幂算法依赖于以下明显的公式:

a^b{mod}\ c = {(a^2)^{b/2}}{mod}\ c  ,b是偶数

a^b{mod}\ c = {((a^2)^{b/2}\times{a})}{mod}\ c  ,b是奇数

int PowerMod(int a, int b, int c)
{
    int ans = 1;
    a = a % c;
    while(b>0) {
        if(b % 2 = = 1)
            ans = (ans * a) % c;
        b = b/2;
        a = (a * a) % c;
    }
    return ans;
}

本算法的时间复杂度为O(logb),能在几乎所有的程序设计(竞赛)过程中通过,是目前最常用的算法之一。

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