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并查集(Disjoint Set)

By Wu Yudong on October 18, 2016

在一些有N个元素的集合应用问题中,我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合,然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并,其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题其特点是看似并不复杂,但数据量极大,若用正常的数据结构来描述的话,往往在空间上过大,计算机无法承受;即使在空间上勉强通过,运行的时间复杂度也极高,根本就不可能在规定的运行时间(1~3秒)内计算出试题需要的结果,只能用并查集来描述。

本文地址:http://wuyudong.com/2016/10/18/2852.html,转载请注明源地址。

定义

并查集(Disjoint Set),即“不相交集合”,是一种树型的数据结构,用于处理一些不相交集合(Disjoint Sets)的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合,也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。

将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合,在每个集合中,选择其中某个元素代表所在集合。

常见两种操作:

  • 合并两个集合
  • 查找某元素属于哪个集合
用编号最小的元素标记所在集合;定义一个数组 set[1..n] ,其中set[i] 表示元素i 所在的集合;

算法实现

查找 Θ(1)

find1(x)
{
    return set[x];
}

合并 Θ(N)

Merge1(a,b)
{   
    i = min(a,b);
    j = max(a,b);
    for (k = 1; k <= N; k++) {
        if (set[k] == j)
            set[k] = i;
    }
}

对于“合并操作”,必须搜索全部元素!有没有可以改进的地方呢?

算法的优化

使用树结构

每个集合用一棵“有根树”表示,定义数组 set[1..n]

  • set[i] = i , 则i表示本集合,并是集合对应树的根
  • set[i] = j, j<>i, 则 j 是 i 的父节点.

查找 最坏情况Θ(N)

find2(x)
{
   r = x;
   while (set[r] != r)
      r = set[r];
   return r;
}

合并 Θ(1)

merge2(a, b)
{
    if (a<b)
       set[b] = a;
    else
       set[a] = b;
}

性能有无本质的改进?如何避免最坏情况呢?

优化--避免最坏情况

方法:将深度小的树合并到深度大的树
实现:假设两棵树的深度分别为h1和h2, 则合并后的树的高度h是:
max(h1,h2), if h1<>h2.
h1+1, if h1=h2.

效果:任意顺序的合并操作以后,包含k个节点的树的最大高度不超过lgk

优化后算法及效率:

查找 Θ(N)

find2(x)    
{
   r = x;
   while (set[r] != r)
      r = set[r];
   return r;
}

合并 Θ(1)

merge3(a,b)
{ 
    if (height(a) == height(b)) {
       height(a) = height(a) + 1;
       set[b] = a; 
    } else if (height(a) < height(b)) {
       set[a] = b;
    } else {  
       set[b] = a; 
    }
}

进一步优化--路径压缩

思想:每次查找的时候,如果路径较长,则修改信息,以便下次查找的时候速度更快
步骤:
  • 第一步,找到根结点
  • 第二步,修改查找路径上的所有节点,将它们都指向根结点

带路径压缩的查找算法:

find3(x)
{
      r = x;
      while (set[r]  !=  r) //循环结束,则找到根节点
          r = set[r];       
      i = x;
      while (i != r) //本循环修改查找路径中所有节点
      {   
          j = set[i];
         set[i] = r;
          i = j;
      }
}

路径压缩示意图:

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