在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。
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定义
并查集（Disjoint Set），即“不相交集合”，是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。
将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合。
常见两种操作：
- 合并两个集合
- 查找某元素属于哪个集合
用编号最小的元素标记所在集合；定义一个数组 set[1..n] ，其中set[i] 表示元素i 所在的集合；
算法实现
查找 Θ(1)
find1(x)
{
return set[x];
}
合并 Θ(N)
Merge1(a,b)
{
i = min(a,b);
j = max(a,b);
for (k = 1; k <= N; k++) {
if (set[k] == j)
set[k] = i;
}
}
对于“合并操作”，必须搜索全部元素！有没有可以改进的地方呢？
算法的优化
使用树结构
每个集合用一棵“有根树”表示，定义数组 set[1..n]
- set[i] = i , 则i表示本集合，并是集合对应树的根
- set[i] = j, j<>i, 则 j 是 i 的父节点.
查找 最坏情况Θ(N)
find2(x)
{
r = x;
while (set[r] != r)
r = set[r];
return r;
}
合并 Θ(1)
merge2(a, b)
{
if (a<b)
set[b] = a;
else
set[a] = b;
}
性能有无本质的改进？如何避免最坏情况呢？
优化–避免最坏情况
方法：将深度小的树合并到深度大的树
实现：假设两棵树的深度分别为h1和h2, 则合并后的树的高度h是:
max(h1,h2), if h1<>h2.
h1+1, if h1=h2.
效果：任意顺序的合并操作以后，包含k个节点的树的最大高度不超过lgk
优化后算法及效率：
查找 Θ(N)
find2(x)
{
r = x;
while (set[r] != r)
r = set[r];
return r;
}
合并 Θ(1)
merge3(a,b)
{
if (height(a) == height(b)) {
height(a) = height(a) + 1;
set[b] = a;
} else if (height(a) < height(b)) {
set[a] = b;
} else {
set[b] = a;
}
}
进一步优化–路径压缩
思想：每次查找的时候，如果路径较长，则修改信息，以便下次查找的时候速度更快
步骤:
- 第一步，找到根结点
- 第二步，修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点
带路径压缩的查找算法：
find3(x)
{
r = x;
while (set[r] != r) //循环结束，则找到根节点
r = set[r];
i = x;
while (i != r) //本循环修改查找路径中所有节点
{
j = set[i];
set[i] = r;
i = j;
}
}
路径压缩示意图:
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