Wu Yudong's Blog

本文主要介绍字符串匹配的Karp-Rabin算法

主要特征

1、使用hash函数

2、预处理阶段时间复杂度O(m)，常量空间

3、查找阶段时间复杂度O(mn)

4、期望运行时间：O(n+m)

算法描述

在大多数实际情况下，Hash法提供了避免二次方比较时间的一种简单的方法. 不同于检查文本中的每一个位置是否匹配，只检查模式串和指定文本窗口的相似性似乎更高效. hash函数被用来检查两个字符串的相似度.

有利于字符串匹配的hash函数应该有如下的性能:

1.

高效可计算;

2.

对字符串高度识别;

3.	hash(y[j+1 .. j+m]) 必须要很容易计算 hash(y[j .. j+m-1]) 和y[j+m]: hash(y[j+1 .. j+m])= rehash(y[j], y[j+m], hash(y[j .. j+m-1]).

对于一个单词w 长度为m，hash(w) 定义如下:
hash(w[0 .. m-1])=(w[0]*2^m-1+ w[1]*2^m-2+···+ w[m-1]*2⁰) mod q
其中q 是一个很大的数.

rehash(a,b,h)= ((h–a*2^m-1)*2+b) mod q

Karp-Rabin 算法的预处理阶段由计算hash(x)构成. 在常量空间和O(m) 执行时间内完成.

在搜索阶段，使用hash(y[j .. j+m-1])  0  j < n–m，比较hash(x) 就足够了. 如果hash值相等,依然需要逐个字符去比较 x=y[j .. j+m-1]是否相等.

Karp-Rabin算法的搜索阶段的时间复杂度为：O(mn) (例如在aⁿ 中搜索 a^m).期望比较次数为: O(n+m).

举例

预处理阶段： hash[y]=17597

搜索阶段：

hash(y[0 .. 7]) = 17819

hash(y[1 .. 8]) = 17533

hash(y[2 .. 9]) = 17979

hash(y[3 .. 10]) = 19389

hash(y[4 .. 11]) = 17339

hash(y[5 .. 12]) = 17597

hash(y[6 .. 13]) = 17102

hash(y[7 .. 14]) = 17117

hash(y[8 .. 15]) = 17678

hash(y[9 .. 16]) = 17245

hash(y[10 .. 17]) = 17917

hash(y[11 .. 18]) = 17723

hash(y[12 .. 19]) = 18877

hash(y[13 .. 20]) = 19662

hash(y[14 .. 21]) = 17885

hash(y[15 .. 22]) = 19197

hash(y[16 .. 23]) = 16961

上面的例子中Karp-Rabin 算法执行8个字符的比较.

C代码实现

// Completed on 2014.10.7 8:45
// Language: C99
//
// 版权所有（C）wuyudong   (mail: oskernel@126.com) 
// 博客地址：http://www.wuyudong.com

#define REHASH(a, b, h) ((((h) - (a)*d) << 1) + (b))

int KR(char *x, int m, char *y, int n) {
   int d, hx, hy, i, j;

   /* 预处理*/
   /* 计算 d = 2^(m-1) 使用左移位运算操作 */
   for (d = i = 1; i < m; ++i)
      d = (d<<1);

   for (hy = hx = i = 0; i < m; ++i) {
      hx = ((hx<<1) + x[i]);
      hy = ((hy<<1) + y[i]);
   }

   /* 搜索*/
   j = 0;
   while (j <= n-m) {
      if (hx == hy && memcmp(x, y + j, m) == 0)
         return j;
      hy = REHASH(y[j], y[j + m], hy);
      ++j;
   }
}

参考资料

• AHO, A.V., 1990, Algorithms for finding patterns in strings. in Handbook of Theoretical Computer Science, Volume A, Algorithms and complexity, J. van Leeuwen ed., Chapter 5, pp 255-300, Elsevier, Amsterdam.
• CORMEN, T.H., LEISERSON, C.E., RIVEST, R.L., 1990. Introduction to Algorithms, Chapter 34, pp 853-885, MIT Press.
• CROCHEMORE, M., HANCART, C., 1999, Pattern Matching in Strings, in Algorithms and Theory of Computation Handbook, M.J. Atallah ed., Chapter 11, pp 11-1–11-28, CRC Press Inc., Boca Raton, FL.
• GONNET, G.H., BAEZA-YATES, R.A., 1991. Handbook of Algorithms and Data Structures in Pascal and C, 2nd Edition, Chapter 7, pp. 251-288, Addison-Wesley Publishing Company.
• HANCART, C., 1993. Analyse exacte et en moyenne d’algorithmes de recherche d’un motif dans un texte, Ph. D. Thesis, University Paris 7, France.
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• KARP R.M., RABIN M.O., 1987, Efficient randomized pattern-matching algorithms. IBM J. Res. Dev. 31(2):249-260.
• SEDGEWICK, R., 1988, Algorithms, Chapter 19, pp. 277-292, Addison-Wesley Publishing Company.
• SEDGEWICK, R., 1988, Algorithms in C, Chapter 19, Addison-Wesley Publishing Company.
• STEPHEN, G.A., 1994, String Searching Algorithms, World Scientific.