二项式定理

作者: 吴老师 分类: 概率与统计 发布时间: 2017-04-25 13:32 浏览: 59 次

1.二项式定理

\((a+b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+…+C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}+…+C_{n}^{n}b^{n}\ (n\in N^{*})\),这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(ab)n的展开式;其中的系数\(C_{n}^{r}\)  (r∈{0,1,…,n)叫二项式系数,与展开式中项的系数不一定相同.

2.(ab)n展开式中的\(C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}\)叫二项展开式的通项,用Tr+1表示,即Tr+1=\(C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}\).

3.二项展开式的特点

(1)项数为n+1项.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即ab的指数的和为n

(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.

4.二项式系数的性质

(1)对称性

与首末两端等距离的两个相等,即\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)

(2)增减性

当\(k< \frac{n+1}{2},\ k\in N^{*}\)时,二项式系数逐渐增大

当\(k> \frac{n+1}{2},\ k\in N^{*}\)时,二项式系数逐渐减小

(3)最大值

当n是偶数时,中间一项\(C_{n}^{\frac{n}{2}}\)取得最大值

当n是奇数时,中间两项\(C_{n}^{\frac{n-1}{2}},\ C_{n}^{\frac{n-1}{2}}\)取得最大值

(4)各二项式系数之和

\(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+…+C_{n}^{n}=2^{n}\)

\(C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}…=2^{n-1}\)

\(C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}…=2^{n-1}\)

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