关于正方体截面形状的研究

作者: 吴老师 分类: 几何 发布时间: 2017-04-25 00:10 浏览: 36 次

任意平面截一个正方体,能得到什么形状的截面,不能得到什么形状的截面?

用平面去截一个几何体,截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体,对于一个几何体不同切截方式,所以得截面可能出现不同的情况,下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状。

我们知道正方体有六个面,用一个平面去解正方体至少要经过三个面,最多经过六个面。所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.

1、截面是三角形

用一平面截正方体,当平面经过正方体的三个面时,所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形(如图1);等腰三角形(如图2);等边三角形(如图3)。其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.

QQ截图20170424231232

因为三角形至少其中一个顶点必须要在正方体的顶点上,而一顶点在正方体顶点上之最大角度即为最大之正三角形的60度,否则如果图形沒有任一点在正方体頂点上而在边上图形变数最少即为四边形;所以不可能出现直角或钝角三角形(角度小于90度)。

二、截面是四边形

用一个平面截正方体,当平面经过正方体的四个面时,所得截面可能是正方形、长方形、梯形.

①用平行于底面的一个平面去截正方体时,按图4方式得到的截面是正方形.

QQ截图20170424231552

②按图5或图6或图7的方式切截,得到的截面是长方形

QQ截图20170424231640

③按图8的方式所得截面为梯形.

QQ截图20170424231707

三、截面是五边形

用平面截正方体,当平面经过正方体的五个面时,所得截面是五边形.如图9.

QQ截图20170425000410

四、截面是六边形

用平面截正方体,当平面经过正方体的六个面时,所得截面是六边形,如图10.

QQ截图20170425000516


一些结论:

可能出现的截面:

锐角三角型、等边、等腰三角形

正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、

五边形、六边形、正六边形

不可能出现的截面:

钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、

七边形或更多边形


最大面积的截面三角形:由三角面对角线构成的三角形

最大面积的截面四边形:由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形

最大面积的截面形状:即最大截面四边形

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