含参二次函数求最值分类讨论的方法

作者: 吴老师 分类: 函数 发布时间: 2017-04-21 09:25 浏览: 72 次

分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题。

一般地,对于二次函数y=a(xm)2+nx∈[ts]求最值的问题;

解决此类问题的基本思路为:根据对称轴相对定义域区间的位置,利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏,可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

QQ截图20170420205625

①表示对称轴在区间[ts]的左侧,②表示对称轴在区间[ts]内且靠近区间的左端点,③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点,④表示对称轴在区间[ts]的右侧。然后,再根据口诀“开口向上,近则小、远则大”;“开口向下,近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型,无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论

题型一:“动轴定区间”型的二次函数最值

例1、求函数f(x)=x2-2ax+3在x∈[0, 4]上的最值。

分析:先配方,再根据对称轴相对于区间的位置讨论,然后根据口诀写出最值。

解:\(f(x)=x^{2}-2ax+3=(x-a)^2+3-a^{2}\)

∴此函数图像开口向上,对称轴x=a

① 当a<0时,0距对称轴 x=a 最近,4距对称轴x=a最远,

∴x=0时,ymin=3,x=4时,ymax=19-8a

② 当0≤a<2时,a距对称轴x=a最近,4距对称轴x=a最远,

∴x=a时,ymin=3-a2,x=4时,ymax=19-8a

③ 当2≤a<4时,a距对称轴x=a最近,0距对称轴x=a最远,

∴x=a时,ymin=3-a2,x=0时,ymax=3

④ 当4≤a时,4距对称轴x=a最近,0距对称轴x=a最远,

∴x=4时,ymin=19-8a,x=0时,ymax=3

题型二:“动区间定轴”型的二次函数最值

例2、求函数f(x)=x2-2x+3在x∈[a, a+2]上的最值。

解:\(f(x)=x^{2}-2x+3=(x-1)^2+2\)

∴此函数图像开口向上,对称轴x=1

①当a>1时,a距对称轴x=1最近,a+2距x=1最远,

∴当x=a时,ymin=- a+3,x=a+2时,ymax= a +2a+3

②当0<a≤1时,1距对称轴x=1最近,a+2距离x=1最远,

∴当x=1时,ymin=2,x=a+2时,ymax= a2+2a+3

③当-1<a≤0时,1距对称轴x=1最近,a距x=1最远,

∴当x=1时,ymin=2,x=a时,ymax=a2-2a+3

④当a≤-1时,a+2距对称轴x=1最近,a距x=1最远,

∴当x=a+2时,ymin= a2+2a+3,x=a时,ymax= a2-2a+3

题型三:“动轴动区间”型的二次函数最值

例3、已知函数f(x)=9x2-6ax+a2-10a-6在上恒大于或等于0,其中实数a∈[3, +∞),求实数b的范围.

分析:找出函数的对称轴:结合区间讨论或的情况

解:∵\(f(x)=9(x-\frac{a}{3})^{2}-10a-6,\  x\epsilon [-\frac{1}{3}, b]\)

若\(\frac{a}{3}\geq b\)时,f(x)在\([-\frac{1}{3}, b]\)上是减函数

∴ymin=\(f(b)=9(b-\frac{a}{3})^{2}-10a-6\)即\(f(b)=9(b-\frac{a}{3})^{2}-10a-6\geq 0\)则条件成立

令\(u=g(a)=a^{2}-(6b+10)a+9b^{2}-6,\ a\epsilon [3,+\infty )\)

(Ⅰ)当3b+5≤3时.即\(b\leq -\frac{2}{3}\)则函数g(x)在\( [3,+\infty )\)上是增函数

∴umin=\(g(3)=9-18b-30+9b^{2}-6\)

即\(9b^{2}-18b-27\geq 0\)解得b≥3或b≤-1

∵\(b\leq -\frac{2}{3}\), ∴b≤-1

(Ⅱ)当3b+5>3即\(b > -\frac{2}{3}\),umin=g(3b+5)=-30b-31

若-30b-31≥0解得\(b \leq  -\frac{31}{30}\),与\(b > -\frac{2}{3}\)矛盾;

若\(-\frac{1}{3}< \frac{a}{3}<b \)时

ymin=\(f(\frac{a}{3})=-10a-6\),即-10a-6≥0

解得\(a\leq -\frac{3}{5}\),与\(a\epsilon [3,+\infty )\)矛盾;

综上述:b≤-1

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