空间几何体的表面积与体积

作者: 吴老师 分类: 几何 发布时间: 2017-04-20 20:40 浏览: 50 次

本文主要总结立体几何中常见空间几何体的表面积与体积的公式及其推导

1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念

棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体.它们的表面积就是各个面的面积的和.

2、圆柱、圆锥、圆台的表面积

(1)圆柱的表面积

QQ截图20170420095204

如图所示,圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的长(或宽)等于圆柱底面周长,宽,(或长)等于圆柱侧面的母线长 (也是高),由此可得

S=\(\frac{1}{2}Cl=2\pi rl\)

S=\(2\pi r^{2}+2\pi rl=2\pi r(r+l)\)

(2)圆锥的表面积

QQ截图20170420095253

如图所示,圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,半径等于圆锥的母线长、由此可得,它的侧面积是.

S=\(\frac{1}{2}Cl=\pi rl\)

S=\(\pi r^{2}+\pi rl=\pi r(r+l)\)

(3)圆台的表面积

QQ截图20170420102058

如图所示,圆台的侧面展开图是一个扇环.  如果圆台的上、下底而半径分另为,母线长为,那么这个扇环的面积为.由此可得圆台的侧而积为

S=\(\pi (r+{r}’)l\)

S=\(\pi (r^{2}+{r}’^{2}+rl+{r}’l)\)

3、柱体、锥体、台体的体积

1. 空间几何体的高

(1)棱柱(圆柱)的高

棱柱(圆柱)的高是指两底面之间的距离. 即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与另一个底面的交点)之间的距离.

(2)棱锥(圆锥)的高

棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.

(3)棱台(圆台)的高

棱台(圆台)的高是指两个底面之间的距离.

2.柱体、锥体、台体的体积

几何体 体积公式
柱体 V=Sh ,S、h分别为柱体的底面积和高
锥体 \(V=\frac{1}{3}Sh\),S、h分别为锥体的底面积和高。特别地,圆锥的体积公式\(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\),r、h分别为圆柱的底面半径和高
台体 \(V=\frac{1}{3}(S+\sqrt{SS^{‘}}+S^{‘})h\),S、h分别为台体的底面积和高。特别地,圆台的体积公式\(V=\frac{1}{3}\pi (r^{2}+rr^{‘}+r^{2})h\),r、r’、h分别为圆台的上、下底面半径和高.

4、球的体积和表面积

设球的半径为R,体积为V,表面积为S

球的体积\(V=\frac{4}{3}\pi R^{2}\)

球的表面积\(S=4\pi R^{2}\)

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