几何体的外接球内切球问题

作者: 吴老师 分类: 几何 发布时间: 2017-04-20 00:35 浏览: 70 次

几何体的外接球内切球问题一直都是广大高中生比较头疼的问题,如果没有掌握相应的方法,做一道题往往花费大量的时间,而且很容易算错,本文对这一类问题进行总结,希望能帮助大家

1. 球与柱体

规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1.1 球与正方体

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1,设正方体的棱长为a,E、F、G、H为棱的中点,O为球的球心,

QQ截图20170419000008

常见组合方式有三种:

1、球为正方体的内切球,截面图为正方形EFGH和内切圆,则|OJ|=r=a/2

2、与正方体各棱相切的球,截面图为正方形EFGH和其外接圆,则|GO|=R=\(\frac{\sqrt{2}a}{2}\)

3、球为正方体的外接球,截面图为长方形ACA1C1和其外接圆,则|A1O|=R’=\(\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题

1.2 球与长方体

长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球,但是不一定存在内切球。设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线l,当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径\(R=\frac{l}{2}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}\)

1.3 球与正棱柱

球与一般的正棱柱的组合体,常以外接形态居多,下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法–构造直角三角形法。

设正三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,底面边长为a,如图所示:

QQ截图20170419232944

D和D1分别为上下底面的中心,根据几何的特点,球心必落在高DD1的中点O,\(OD=\frac{h}{2},AO=R,AD=\frac{\sqrt{3}a}{3}\),借助直角三角形AOD,由勾股定理可求

\(R=\sqrt{(\frac{h}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}a}{3})^{2}}\)

2. 球与锥体

规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

2.1 球与正四面体

正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的 棱长的关系。如图:

QQ截图20170419233836

设正四面体的棱长为a,内切球半径为r,外接球的半径为R,取AB的中点为D,E为S在底面的射影,连接CD,SD,SE为正四面体的高。在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切,圆心在高SE上的圆,即为内切球的截面,因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为O,

此时\(CO=OS=R,OE=r\),
\(SE=\sqrt{\frac{2}{3}}a,CE=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)

则有,\(R+r=\sqrt{\frac{2}{3}}a,\  R^{2}-r^{2}=|CE|^{2}=\frac{a^{2}}{3}\)

解得:\(R=\frac{\sqrt{6}}{4}a,\ r=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)

建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.

2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥

球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形

法,即把三棱锥补形成正方体或者长方体。常见两种形式:

一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补成为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图

QQ截图20170420000801

三棱锥的外接球的球心和正方外接球的球心重合,设AA1=a,则R=\(\frac{\sqrt{3}}{2}a\);二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。

\(R^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}=\frac{l^{2}}{4}\) (l为长方体的对角线的长)

2.3  球与正棱锥

球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径.这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.

2.4 球与特殊的棱锥

球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如,四个面都是直角三角形的三棱锥, 可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置。如图

QQ截图20170420001846

三棱锥S-ABC,满足SA丄面ABC,AB丄BC,取SC的中点O,由直角三角形的性质可得:

OA=OS=OB=OC,所以O点为三棱锥S-ABC的外接球的球心,则\(R=\frac{SC}{2}\)

3. 球与球

对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解.

4. 球与几何体的各条棱相切

球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位

置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半:\(r^{‘}=\frac{\sqrt{2}}{4}a\).

综合上面的四种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作;把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解.如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.

如果觉得我的文章对您有用,请随意打赏。您的支持将鼓励我继续创作!

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

您可以使用这些HTML标签和属性: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>