【答疑解惑】一道平面向量题

作者: 吴老师 分类: 向量,答疑解惑 发布时间: 2017-04-17 11:51 浏览: 62 次

前几天我的一个学生问了一道题目:

已知平面向量a, b,满足|a|=|b|=2,存在单位向量e,使得(a-e)(b-e)=0,则|a-b|的取值范围是                       

这道题的难点在于只知道ab, e的大小,但是却不知道它们的方向,更不知道它们之间的夹角。如果采用代数的方法,未知数较多,难度较大。

我们可以把向量ab, e看作是原点O指向A、B、E点的向量,

|a|=|b|=2,所以A点与B点在圆心为原点半径为2的圆上;|e|=1,E点在圆心为原点半径为1的圆上。

(a-e)(b-e)=0,也就是向量EA和向量EB垂直。

这样就转化成一个很直观的几何问题,先不要考虑E点是变化的问题,根据圆的对称性,可以先把E点当成定点,只有A与B可以移动,这样|a-b|的取值范围其实就是线段AB的长度范围。

为了帮助同学们理解,我花了十几分钟绘制了下图:

QQ截图20170417110522

先求|a-b|的最小值,看上图的右半部分,当AB⊥x轴的时候(此时ΔAEB为等腰直角三角形),|AB|的值最小,即|a-b|最小

设AM=x, 则EM=AM=x,OE=1,OA=2,在ΔAOM中,根据勾股定理:

OM2+AM2=OA2

即:(1+x)2+x2=22

解方程得:\(x=\frac{\sqrt7-1}{2}\)

此时 \(AB=2x=\sqrt{7}-1\)

同理可得|AB|的最大值,看上图的左半部分,此时EA向量刚好为EB向量的反向延长,当AB⊥x轴的时候,|AB|的值最大,即|a-b|最大

设AN=x, 则EN=AN=x,OE=1,OA=2,ON=NE-OE=x-1

在ΔAON中,根据勾股定理:

ON2+AN2=OA2

即:(x-1)2+x2=22

解方程得:\(x=\frac{\sqrt7+1}{2}\)

此时 \(AB=2x=\sqrt{7}+1\)

综上所述:|a-b|的取值范围是\([\sqrt{7}-1,\sqrt{7}+1]\)

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