排列与组合

作者: 吴老师 分类: 概率与统计 发布时间: 2017-04-13 22:18 浏览: 32 次

排列的概念:

从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

说明:

(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列;

(2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同.

3.排列数的定义:

从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数,用符号\(A_{n}^{m}\)表示.

注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从个不同元素中,任取个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从n个不同元素中,任取n(m≤n)个元素的所有排列的个数,是一个数.所以符号\(A_{n}^{m}\)只表示排列数,而不表示具体的排列.

排列数公式:

\(A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)\)

\((m,n\in N^{*},m\leq n)\)

说明:

(1)公式特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是n-m+1,共有m个因数;

(2)全排列:当n=m时即n个不同元素全部取出的一个排列.

全排列数:\(A_{n}^{n}=n(n-1)(n-2)…2\cdot 1=n!\)(叫做n的阶乘).

 阶乘的概念:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列,这时\(A_{n}^{n}=n(n-1)(n-2)…2\cdot 1\);把正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘。表示n! ,即\(A_{n}^{n}=n!\)。规定0!=1.

排列数的另一个计算公式:

\(A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\)

1.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?

(2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?

 

2某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?

 

3将位司机、位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案?

 

4(1)7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?

(2)7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法?

(3)7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?

(4)7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?

(5)7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?


组合的概念:

一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同.

2.组合数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号\(C_{n}^{m}\)表示.

一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数\(A_{n}^{m}\),可以分如下两步:①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数\(C_{n}^{m}\);②求每一个组合中m个元素全排列数\(A_{m}^{m}\),根据分步计数原理得:\(A_{n}^{m}=C_{n}^{m}A_{m}^{m}\).

(3)组合数的公式:

\(C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}\)

或\(C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\),\((m,n\in N^{*},m\leq n)\)

组合数的性质1:\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\).

组合数的性质2:\(C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}\).

例1.一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球,

(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?

(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?

(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?

 

例2.100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.

(1)一共有多少种不同的抽法;

(2)抽出的3件都不是次品的抽法有多少种?

(3)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?

(4)抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种?

 

例3.从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法?

 

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