解三角形必备知识点

作者: 吴老师 分类: 三角函数 发布时间: 2017-04-11 00:40 浏览: 104 次

知识必备:

1.直角三角形中各元素间的关系:

在△ABC中,C=90°,ABcACbBCa

(1)三边之间的关系:a2b2c2。(勾股定理)

(2)锐角之间的关系:AB=90°;

(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义)

\(sinA=cosB=\frac{a}{c},cosA=sinB=\frac{b}{c},tanA=\frac{a}{b}\)

2.斜三角形中各元素间的关系:

在△ABC中,ABC为其内角,abc分别表示ABC的对边。

(1)三角形内角和:ABCπ

(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等

\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)(R为外接圆半径)

公式变形:

① \(a=2RsinA,\ b=2RsinB,\ c=2RsinC\)(边转化成角)

②\(sinA=\frac{a}{2R},\ sinB=\frac{b}{2R},\ sinC=\frac{c}{2R}\)(角转化成边)

③\(a:b:c=sinA:sinB:sinC\)

④\(\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)

(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a2b2c2-2bccosA;    b2c2a2-2cacosB;    c2a2b2-2abcosC

(4)在三角形中大边对大角,大角对大边.

3.三角形的面积公式:

(1)\(S_{\Delta }=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}\)(hahbhc分别表示abc上的高);

(2)\(S_{\Delta }=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}acsinB\);

(3)\(S_{\Delta }=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)},(S=\frac{a+b+c}{2})\) 海伦公式

(4)\(S_{\Delta }=Sr=\frac{abc}{4R}\),(R为外接圆半径,r为内切圆半径)

4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型:

(1)已知两角和一边(如已知A, B, 边c)

解法:根据内角和求出角C=π-(A+B);

根据正弦定理\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)求出其余两边a,b

(2)已知两边和夹角(如已知a,b,C)

解法:根据余弦定理 c2a2b2-2abcosC求出边c;

根据余弦定理的变形\(cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\) 求A;

根据内角和定理求角B=π-(A+C).

(3)已知三边(如:a,b,c)

解法:根据余弦定理的变形\(cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\) 求角A;

根据余弦定理的变形\(cosB=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)求角B;

根据内角和定理求角C=π-(A+B)

 (4)已知两边和其中一边对角(如:a,b,A)(注意讨论解的情况)

解法1:若只求第三边,用余弦定理: c2a2b2-2abcosC

解法2:若不是只求第三边,先用正弦定理求B(可能出现一解,两解或无解的情况);

再根据内角和定理求角C=π-(A+B);.

在ΔABC中,已知a,b,A,则ΔABC解的情况为:

法一:几何法(不建议使用)

(注:表中,A为锐角时,若a<b sinA,无解;A为钝角或直角时,若a≤b,无解.)

QQ截图20170411094035

法二:代数法(建议使用)

通过例子说明步骤:“大角对大边”结合正弦定理一起使用

5.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。

(1)角的变换

因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。

\(sin\frac{A+B}{2}=cos\frac{C}{2},cos\frac{A+B}{2}=sin\frac{C}{2}\);

(2)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.

6.求解三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:分析题意,弄清已知和所求;

(2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图;

(3)求解:正确运用正、余弦定理求解;

(4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。

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