直线与圆锥曲线的位置关系

作者: 吴老师 分类: 圆锥曲线 发布时间: 2017-04-11 00:17 浏览: 45 次

本文着重学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化解题思维,提高解题能力。为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。

1、直线与椭圆的位置关系:

设直线与椭圆方程分别为: y=kx+m与\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)  :

(1) Δ > 0 ⇔  相交

(2) Δ = 0 ⇔  相切

(3) Δ < 0 ⇔  相离

2、直线与双曲线的位置关系:

设直线与双曲线方程分别为: y=kx+m与\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)  :

(1)若直线与渐近线平行,则相交且只有一个交点.

(2)若直线与渐近线重合,则相离即没有交点.

(3)若直线与渐近线相交,联立方程组\(\left\{\begin{matrix}
y=kx+m\\
b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}
\end{matrix}\right.\)

消去y得: Ax2+Bx+C=0

(1) Δ > 0 ⇔  相交

(2) Δ = 0 ⇔  相切

(3) Δ < 0 ⇔  相离

直线与双曲线没有交点:Δ < 0,或与渐近线重合

直线与双曲线有一个交点:Δ = 0,或与渐近线平行

直线与双曲线有两个交点:Δ > 0

3、直线与抛物线的位置关系:

设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:

(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.

(2)若直线与对称轴相交,由\(\left\{\begin{matrix}
y=kx+m\\
y^{2}=2px
\end{matrix}\right.\)

得:Ax2+Bx+C=0

(1) Δ > 0 ⇔  相交

(2) Δ = 0 ⇔  相切

(3) Δ < 0 ⇔  相离

⑴直线与抛物线有两个交点 ⇔  Δ > 0

⑵直线与抛物线有一个交点 ⇔  Δ = 0 或直线与对称轴平行.

⑶直线与抛物线没有交点 ⇔  Δ < 0

所以“直线与抛物线或双曲线有一个公共点是直线与抛物线或双曲线相切的必要不充分条件”

 

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