圆锥曲线专题–点差法

作者: 吴老师 分类: 圆锥曲线 发布时间: 2017-04-10 15:55 浏览: 29 次

解析几何在高考中占有重要地位,一般放在试题倒数第二题,有时也成为压轴题。在高考中,绝大多数学生只能完成第1问,而第2问,因计算量大而难无法完成。在平时学习及复习过程中,要让自己真正理解解析几何中的最优解法与算法,这样在考试中才能作出正确的、最优的解法选择,这样才能事半功倍。下面谈谈 什么是“点差法”?什么情况下用“点差法”?

若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为\(M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})\),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦MN的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

二次曲线\(mx^{2}+ny^{2}=1\)上两点M,N,设\(M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})\),MN的中点Q(x0, y0),MN的斜率为k。

\(\left\{\begin{matrix}
mx_{1}^{2}+ny_{1}^{2}=1 & \cdots (1) \\
mx_{2}^{2}+ny_{2}^{2}=1 & \cdots (2)
\end{matrix}\right.\)

由(1)-(2)得\(m(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})+n(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=0\),

又\(\because x_{1}+x_{2}=2x_{0}, y_{1}+y_{2}=2y_{0},\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=k(x_{1}\neq x_{2})\)

\(\therefore mx_{0}+nky_{0}=0\) 这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式。

即已知弦的中点,可求弦的斜率;已知斜率,可求弦的中点坐标。同时也告诉我们当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时,就要想到“点差法”。

一、以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、已知抛物线y2=4x,过点P(3, 4)的直线l交抛物线于A、B两点且点P平分AB,求直线l的方程。

分析:此题涉及到弦AB的斜率及弦AB的中点坐标,故采用“点差法”。

解:设\(A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})\),

则\(\left\{\begin{matrix}
y_{1}^{2}=4x_{1}\\
y_{2}^{2}=4x_{2}
\end{matrix}\right.\Rightarrow (y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=4(x_{1}-x_{2})\Rightarrow k_{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

从而直线l的方程为x-2y+5=0

二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

例2、已知椭圆C:\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\),直线l过点P(1,1)交椭圆C于A、B两点,求AB中点M的轨迹方程。

分析:此题涉及到弦AB的中点坐标,且弦的斜率等于MP的斜率。故采用“点差法”。

解:设\(A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})\),M(x, y),则

\(\left\{\begin{matrix}
3x_{1}^{2}+4y_{1}^{2}=12\\
3x_{2}^{2}+4y_{2}^{2}=12
\end{matrix}\right.\Rightarrow 3(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})+4(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=0\)

\(\Rightarrow 3x+4y\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=0\Rightarrow 3x+4y\frac{y-1}{x-1}=0\Rightarrow 3x(x-1)+4y(y-1)=0\)

∵点P在椭圆内部,直线与椭圆恒有两个交点,∴点M的轨迹方程为:\(3x(x-1)+4y(y-1)=0\)

三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例3、已知椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\),试确定m的取值范围,使得对于直线y=4x+m,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解:设\(P_{1}(x_{1}, y_{1}),P_{2}(x_{2}, y_{2})\),为椭圆上关于直线y=4x+m的对称两点,P(x, y)为弦的中点,则\(3x_{1}^2+4y_{1}^2=12,3x_{2}^2+4y_{2}^2=12\),两式相减得\(3(x_{1}^2-x_{2}^2)+4(y_{1}^2-y_{2}^2)=12\),

即\(3(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})+4(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=0\)

\(\because x_{1}+x_{2}=2x,y_{1}+y_{2}=2y,\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{1}{4}\)

\(\therefore y=3x\)    这就是弦中点轨迹方程。

它与直线y=4x+m的交点必须在椭圆内

联立\(\left\{\begin{matrix}
y=3x\\
y=4x+m
\end{matrix}\right.\),得\(\left\{\begin{matrix}
x=-m\\
y=-3m
\end{matrix}\right.\) 则必须满足\(y^{2}< 3-\frac{3}{4}x^{2}\),

即\((3m)^{2}< 3-\frac{3}{4}m^{2}\),解得\(-\frac{2\sqrt{13}}{13}<m < \frac{2\sqrt{13}}{13}\)

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