函数专题–分段函数

作者: 吴老师 分类: 函数 发布时间: 2017-04-01 10:43 浏览: 88 次

知识储备

1、定义:分段函数是指自变量在不同范围内,有不同解析式的函数。

2、注意:

(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数;

(2)分段函数的定义域是自变量各段取值的并集;

(3)分段函数的值域是各段函数值的并集。

(4)解决分段函数的方法:先分后合

3、涉及的内容及相应的常用方法:

(1)求解析式:

利用分段中递推关系,如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式,得到整个定义域的解析式;

(2)求值、解不等式:注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论;

(3)单调性:各段单调(如递增)+连接处不等关系。

如\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
f_{1}(x),x\in (-\infty ,a]\\
f_{2}(x),x\in [a,+\infty)]\\
\end{matrix}\right.\)在R上是增函数,

则\(\left\{\begin{matrix}
f_{1}(x),x\in (-\infty ,a) \uparrow \\
f_{2}(x),x\in [a,+\infty)]\uparrow \\
f_{1}(a)\leq f_{2}(a)
\end{matrix}\right.\)

4、奇偶性:

分段讨论,各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性,否则为非奇非偶函数;

5、图像性质或变换等:

作图、赋值等,注意变量的范围限制;

6、最值:求各段的最值或者上下界再进行比较;

7、图像:分类讨论,如零点分段法得到各段解析式再作图;

题型一:分段函数的求值

设\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
2e^{x-1}(x< 2),\\
log_{3}(x^{2}-1),(x\geq 2)
\end{matrix}\right.\) 则f[f(2)]=                 

题型二:递推式求值

给出函数\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
(\frac{1}{2})^{x} ,& x\geq 4\\
f(x+1),& x< 4&
\end{matrix}\right.\) 则f(log23)等于               

题型三:分段函数的单调性

已知\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
(3a-1)x+4a ,& x< 1\\
log_{a}x,& x> 1&
\end{matrix}\right.\)是(-∞, +∞)上的减函数,那么a的取值范围是             

题型四:解不等式问题

设函数\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
(x+1)^{2} ,& x< 1\\
4-\sqrt{x-1},& x\geq 1&
\end{matrix}\right.\),则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是                 

题型五:方程根的问题

函数\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^{2}+2x-3,& x\leq 0\\
-2+lnx,& x>0&
\end{matrix}\right.\)的零点个数为                

题型六:解析式问题

已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,\(f(x)=2^{x}+2x+b\)(b为常数),则f(-1)=            

题型七:方程根的问题

1、求函数y=|x+1|+|x-2| 的值域

2、设函数\(g(x)=x^{2}-2(x\in R),\ f(x)=\left\{\begin{matrix}
g(x)+x+4, &x<g(x) \\
g(x)-x &x\geq g(x)
\end{matrix}\right.\),则f(x)的值域是                             

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