函数专题–函数的图像变换

作者: 吴老师 分类: 函数 发布时间: 2017-03-31 20:44 浏览: 74 次

函数的图象是函数的一种重要表示方法,利用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的重要性质.基本初等函数的图像及其变换,是考查的热点;利用变换作图,也是考查的重点,利用形数结合的数学思想解题,看图想性质,数形转化灵活解题.

基础知识:

1.图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系

优点:能直观形象地表示出函数的变化情况.

体现:映射与反演、形数结合的数学思想.

2.基本初等函数图象

y=xn y=ax y=logax y=sinx y=cosx y=tanx

初等函数图像:

y=kx y=kx+b y=ax2+bx+c \(y=\frac{k}{x}\)     \(y=ax+\frac{b}{x}\)

3.作图基本方法

(1)利用描点法作图:

①确定函数的定义域:图象沿x轴展布范围及渐近线;

②化简函数解析式:等价变形;

③讨论函数的性质:

奇偶性:关于图象对称性

单调性:关于图象升降性

周期性:关于图象重要性

极值、最值:关于图象最高点、最低点

截距:与x轴、y轴交点坐标

④画出函数的图象

(2)利用基本初等函数的图象的变换作图:

一、平移变换(h>0,k>0)

1.左右平移:“左+右-”

(1)将函数y=f(x)的图象向左平移h个单位,即可得y=f(x+h)的图象;

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移h个单位,即可得y=f(x-h)的图象;

2.上下平移:“上+下-”

(1)将函数y=f(x)的图象向上平移k个单位,即可得y=f(x)+k的图象

(2)将函数y=f(x)的图象向下平移k个单位,即可得y=f(x)-k的图象

例:将函数y=log2x的图象                  即可得y=log2(x+2)的图象

将函数y=log2x的图象                  即可得的y=log2x + 2图象

变式1:将函数y=log22x的图象向右平移1个单位,得到函数                  的图象.

变式2:将函数\(y=\sqrt{3x}\)的图象                  得到函数\(y=\sqrt{3x-2}\)的图象.

二、翻折变换

1.要得到函数y=|f(x)|的图象,可将函数y=f(x)的图象位于x轴下方的关于x轴对称翻折到x轴上方,其余部分不变(不保留x轴下方的部分)

2.要得到函数y=f(|x|)的图象,先作出f(x) (x≥0)的图象,再利用偶函数关于y轴对称,作出x<0的部分,即先作出y=f(x)在y轴右侧的部分,再关于y轴对称翻折到y轴左侧(但要保留y轴右侧的部分)

例如:(1)作出函数y=|log2x|的图象;        (2)作出函数y=log2|x|的图象

 

 

变式:作出下列函数的图象

(1)y=|x2-2x|;                       (2)y=x2-2|x|;                   (3)y=2|x-1|

 

 

三、伸缩变换(A>0, a>0)

1.将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,即可得y=Af(x)的图象.(A>1时伸长,0<A<1时缩短)

2.将函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的1/a倍,即可得y=f(ax)的图象. (a>1时缩短,0<a<1时伸长)

例:将函数y=ex的图象                    即可得y=3ex的图象

将函数\(y=\frac{1}{x}\)的图象                    即可得\(y=\frac{1}{2x}\)的图象

变式1:将函数y=log22x的图象                                   得到函数y=log2x的图象.

变式2:将函数\(y=\sqrt{x}\)的图象                                             得到函数\(y=\sqrt{2x-2}\)的图象.

四、对称变换

(1)对称变换

①函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于直线x=0(y轴)对称

②函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图像关于直线y=0(x轴)对称

③函数y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线\(x=\frac{b-a}{2}\)对称

④函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称

⑤函数y=f(x)与函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称。

(2)中心对称

①函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图像关于坐标原点对称

②函数y=f(x)与函数2b-y=f(2a-x)的图像关于点(a, b)对称。

例:将函数y=log2x的图象                    即可得函数y=log2(-x)的图象

将函数y=log2x的图象                     即可得函数y=-log2x的图象

将函数y=log2x的图象                     即可得函数y=log2(-x)的图象

变式1:将函数y=log2(x+1)的图象关于轴对称,得到函数_________的图象.

练习题

1.利用图象变换,由\(y=\frac{1}{x}\)的图象作出函数\(y=\frac{2x-1}{x-1}\)的图象.

 

 

 

2. 作出下列函数的图象

(1)\(y=|log_{\frac{1}{2}}(-x)|\)         (2)\(y=(\frac{1}{2})^{|x|}\)            (3)\(y=2^{|x-1|}-1\)

 

 

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