函数专题–函数单调性的判定方法

作者: 吴老师 分类: 函数 发布时间: 2017-03-31 17:32 浏览: 95 次

函数单调性是函数的一个非常重要的性质,本文从单调性的定义入手,总结了判断单调性的常见方法。本文把函数分为具体函数和抽象函数两大类进行讨论,对于每类函数都给出了判定单调性的若干方法。对于具体的函数,我们可以用多种方法去判断其单调性,特别地导数法是普遍适用的。对于抽象函数的单调性问题,我们给出了用定义法及列表法。这种题型不仅抽象,而且综合性较强,对学生的思维能力有很高的要求,学生往往很难发现数学符号与数学语言之间的内在关系。因此在判断函数单调性的问题上,应灵活选择恰当的方法,从而使解题过程最简单。

判断具体函数单调性的方法

1、定义法

一般地,设f为定义在D上的函数。若对任何x1、x2,当x1<x2时,总有

(1) f(x1) ≤ f(x2),则称f为D上的增函数,特别当成立严格不等f(x1) < f(x2)时,称f为D上的严格增函数;

(2)f(x1) ≥ f(x2),则称f为D上的减函数,特别当成立严格不等f(x1) > f(x2)时,称f为D上的严格减函数;

利用定义来证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤:

(1)设元,任取x1、x2∈D 且x1<x2

(2)作差f(x1) – f(x2);

(3)变形(普遍是因式分解和配方);

(4)断号(即判断f(x1) – f(x2)差与0的大小);

(5)定论(即指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性)。

例1.用定义证明函数\(f(x)=x+\frac{k}{x}(k>0)\)在\((0, +\infty )\)上是减函数。

证明:设\(x_{1},x_{2}\in (0, +\infty )\),且\(x_{1} < x_{2}\),则

\(f(x_{1}) – f(x_{2})=(x_{1}+\frac{k}{x_{1}})-(x_{2}+\frac{k}{x_{2}})=(x_{1} – x_{2})+(\frac{k}{x_{1}}-\frac{k}{x_{2}})\)

\(=(x_{1}-x_{2})+k(\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(\frac{x_{1}x_{2}-k}{x_{1}x_{2}})\)

\(\because 0< x_{1}<x_{2}\  \therefore x_{1} – x_{2}< 0,\ x_{1}x_{2}> 0\)

当\(x_{1},x_{2}\in (0, \sqrt{k}]\)时,\(x_{1}x_{2}-k\leq 0\Rightarrow f(x_{1})-f(x_{2})\geq 0\),此时函数f(x)为减函数

当\(x_{1},x_{2}\in (\sqrt{k}, +\infty )\)时,\(x_{1}x_{2}-k > 0\Rightarrow f(x_{1})-f(x_{2})<  0\),此时函数f(x)为增函数

综上函数\(f(x)=x+\frac{k}{x}(k>0)\)在区间\((0, \sqrt{k}]\)内为减函数;在区间\((\sqrt{k}, +\infty )\)内为增函数。

此题函数f(x)是一种特殊函数(对号函数),用定义法证明时通常需要进行因式分解,由于\(x_{1}x_{2}-k \)与0的大小关系(k>0)不是明确的,因此要分段讨论。

用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1, x2当x1<x2时,容易得出f(x1) 与 f(x2)大小关系的函数。在解决问题时,定义法是最直接的方法,也是我们首先考虑的方法,虽说这种方法思路比较清晰,但通常过程比较繁琐。

2、函数性质法

函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数(一次函数、二次函数、指数对数函数……)的单调性必须掌握:

一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论:

⑴.f(x)与f(x)+C单调性相同。(C为常数)

⑵.当k>0时,f(x)与kf(x)具有相同的单调性;当k<0时, f(x)与kf(x)具有相反的单调性。

⑶.当f(x)恒不等于零时,f(x)与1/f(x)具有相反的单调性。

⑷.当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数时,则f(x)+g(x)在上是增(减)函数。

⑸.当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒大于0时,f(x)g(x)在D上是增(减)函数;当f(x)、g(x)在D上都是增(减)函数且两者都恒小于0时,在上是减(增)函数。

⑹.设y=f(x) , x∈D为严格增(减)函数,则f必有反函数f-1,且f-1在其定义域上f(D)也是严格增(减)函数。

例3.判断\(f(x)=x+x^{3}+log_{2}x^{3}+2^{x+1}(x^{2}+1)+5\)的单调性。

函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性,因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式,然后利用函数单调性的性质去判断,但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。

3、复合函数单调性判断法

定理1:若函数y=f(u)在U内单调,u=g(x)在X内单调,且集合\(\left \{ \left. u|u=g(x),x\in X \right \} \right.\subset U\)

(1)若y=f(u)是增函数,u=g(x)是增(减)函数,则y=f[g(x)]是增(减)函数。

(2)若y=f(u)是减函数,u=g(x)是增(减)函数,则y=f[g(x)]是减(增)函数。

归纳此定理,可得口诀:同则增,异则减(同增异减)

判断复合函数y=f[g(x)]的单调性的一般步骤:

⑴合理地分解成两个基本初等函数y=f(u), u=g(x);

⑵分别解出两个基本初等函数的定义域;

⑶分别确定单调区间;

⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减,则y=f[g(x)]为增函数,若为一增一减,则y=f[g(x)]为减函数(同增异减);

⑸求出相应区间的交集,既是复合函数y=f[g(x)]的单调区间。

以上步骤可以用八个字简记“一分”,“二求”,“三定”,“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。

例.求(\f(x)=log_{2}(3x^{2}+5x-2)\ (a> 0,a\neq 1)\)的单调区间。

解:由题可得函数是由外函数y=log2u和内函数u=3x2+5x-2符合而成。由题知函数的定义域是\((-\infty , -2)\cup (\frac{1}{3}, +\infty)\)。内函数u=3x2+5x-2在\((\frac{1}{3}, +\infty)\)内为增函数,在\((-\infty , -2)\)内为减函数。

外函数y=log2u为增函数,由同增异减法则,故函数在上\((\frac{1}{3}, +\infty)\)是增函数;函数在\((-\infty , -2)\)上是减函数。

4、抽象函数单调性的方法

如果一个函数没有给出具体解析式,那么这样的的函数叫做抽象函数。抽象函数没有具体的解析式,需充分提取题目条件给出的信息。

定义法

通过作差(或者作商),根据题目提出的信息进行变形,然后与0(或者1)比较大小关系来判断其函数单调性。通常有以下几种方法:

4.1凑差法

根据单调函数的定义,设法从题目中“凑出”“f(x1)-f(x2)”的形式,然后比较f(x1)-f(x2)与0的大小关系。

例:已知函数f(x)对任意实数m、n均有f(m+n)=f(m)+f(n),且当m>0时,f(m)>0,试讨论函数f(x)的单调性。

解:由题得f(m+n) – f(m) = f(n),

令x1=m+n,x2=m,且x1>x2,n=x1-x2>0

又由题意当m>0时,\(f(m)> 0\Rightarrow f(x_{1})-f(x_{2})=f(n)> 0\),所以函数f(x)为增函数。

4.2添项法

弄清题目中的结构特点,采用加减添项或乘除添项,以达到能判断“f(x1)-f(x2)”与0大小关系的目的。

例:(同上例)

解:任取\(x_{1},x_{2}\in R\),

则\(x_{2}-x_{1}>0,\ f(x_{2})-f(x_{1})=f[(x_{2}-x_{1})+x_{1}]-f(x_{1})\),

由题意函数f(x)对任意实数m、n均有f(m+n)=f(m)+f(n),且当m>0时,

\(f(m)> 0\Rightarrow f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{2}-x_{1})> 0\),所以函数为增函数。

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