函数专题–函数值域的求法

作者: 吴老师 分类: 函数 发布时间: 2017-03-30 00:09 浏览: 108 次

函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法,希望对大家有所帮助。

一、值域的概念和常见函数的值域

函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.

常见函数的值域:

一次函数\(y=kx+b(k\neq 0)\)的值域为R.

二次函数\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq 0)\),当a>0时的值域为\([\frac{4ac-b^{2}}{4a},+\infty )\),当a<0时的值域为\((-\infty ,\frac{4ac-b^{2}}{4a}]\).

反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq 0)\)的值域为{y∈R|y≠0}.

指数函数y=ax(a>0且a≠1)的值域为{y|y>0}.

对数函数y=logax(a>0且a≠1)的值域为R.

正,余弦函数的值域为[-1, 1],正,余切函数的值域为R.

二、求函数值域(最值)的常用方法

1、直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。

例:求函数\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1},(x\geqslant 1)\)的值域。

直接利用x的范围,即可求出函数的值域为\([\sqrt{2},+\infty ]\)

2、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题,均可使用配方法。

例:求函数\(y=-x^{2}+4x+2(x\in [-1,1])\)的值域。

解:\(y=-x^{2}+4x+2=-(x-2)^{2}+6\),

\(\because x\in [-1,1],\therefore x-2\in[-3,-1],\therefore 1\leqslant (x-2)^{2}\leqslant 9\)

\(\therefore -3\leqslant (x-2)^{2}+6\leqslant 5,\therefore -3\leqslant y\leqslant 5\)

∴函数\(y=-x^{2}+4x+2,(x\in [-1,1])\)的值域为[-3, 5]。

3、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。

例:求函数\(y=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}\)的值域。

解:由\(y=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}\)  解得  \(2^{x}=\frac{1-y}{1+y}\),

\(\because 2^{x}> 0,\therefore \frac{1-y}{1+y}> 0,\therefore -1< y< 1\)

∴函数\(y=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}\) 的值域为\(y\in (-1,1)\)。

4、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知分式函数\(y=\frac{ax+b}{cx+d},(c\neq 0)\),如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。

例:求函数\(y=\frac{1-x}{2x+5}\)的值域。

解:\(\because y=\frac{1-x}{2x+5}=\frac{-\frac{1}{2}(2x+5)+\frac{7}{2}}{2x+5}=-\frac{1}{2}+\frac{\frac{7}{2}}{2x+5}\),

\(\frac{\frac{7}{2}}{2x+5}\neq 0 \ \therefore y\neq -\frac{1}{2}\),

∴函数\(y=\frac{1-x}{2x+5}\)的值域为\(\left \{ \left. y|y\neq -\frac{1}{2} \right \} \right.\)。

5、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,

形如\(y=ax+b\pm \sqrt{cx+d}\)(a、b、c、d均为常数,且a≠0)的函数常用此法求解。

例:求函数\(y=2x+ \sqrt{1-2x}\)的值域。

解:令\(t=\sqrt{1-2x}\ (t\geqslant 0)\),则\(x= \frac{1-t^{2}}{2}\),

∴\(y=-t^{2}+t+1=-(t-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}\)

∵当\(t= \frac{1}{2}\),即\(x= \frac{3}{8}\)时,\(y_{max}=\frac{5}{4}\),无最小值。

∴函数\(y=2x+ \sqrt{1-2x}\)的值域为\((-\infty ,\frac{5}{4}]\)。

6、判别式法:把函数转化成关于x的二次方程;通过方程有实数根,判别式\(\Delta \geq 0\),从而求得原函数的值域,形如\(y=\frac{a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}}{a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}}\)(a1、a2不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。

例:求函数\(y=\frac{x^{2}-x+3}{x^{2}-x+1}\)的值域。

解:由\(y=\frac{x^{2}-x+3}{x^{2}-x+1}\)变形得\((y-1)x^{2}-(y-1)x+y-3=0\),

当y=1时,此方程无解;

当y≠1时,\(\because x\in R,\ \therefore \Delta=(y-1)^{2}-4(y-1)(y-3)\geqslant 0\)

解得\(1\leqslant y\leqslant \frac{11}{3}\),又\(y\neq 1,\ \therefore 1< y\leqslant \frac{11}{3}\)

∴函数\(y=\frac{x^{2}-x+3}{x^{2}-x+1}\)的值域为\(\left \{ \left. y|1< y\leqslant \frac{11}{3} \right \} \right.\)

7、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。

例:求函数\(y=x-\sqrt{1-2x}\)的值域。

解:∵当x增大时,1-2x随x的增大而减少,\(-\sqrt{1-2x}\)随x的增大而增大,

∴函数\(y=x-\sqrt{1-2x}\)在定义域\((-\infty ,\frac{1}{2}]\)上是增函数。

∴\(y\leqslant f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-\sqrt{1-2\times \frac{1}{2}}\),

∴函数\(y=x-\sqrt{1-2x}\)的值域为\((-\infty ,\frac{1}{2}]\)。

8、基本不等式法

利用基本不等式\(a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab\)和\(a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\)(a,b>0)是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取”=”成立的条件.

例:求函数\(y=\frac{x+2}{\sqrt{x+1}}\)的值域.

解答: \(y=\frac{x+2}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\geqslant 2\), 当且仅当x=1时成立. 故函数的值域为\(y\in [2, +\infty )\).

9、有界性法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例:求函数\(y=\frac{2^x+1}{2^x-1}\)的值域。

解:函数的有界性

由\(y=\frac{2^x+1}{2^x-1}\) 得 \(2^{x}=\frac{y+1}{y-1}\)

\(\because 2^{x}> 0,\ \therefore \frac{y+1}{y-1}> 0\Rightarrow y\in (-\infty, -1)\cup (1,+\infty )\)

10、数型结合法:

函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。

例:求函数\(y=\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}-4x+8}\)的值域。

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。

解:原函数变形为\(f(x)=\sqrt{(x+2)^{2}+1}+\sqrt{(x-2)^{2}+2}\)

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形。

QQ截图20170329234635

设HK=x, 则\(EK=2-x,\ KF=2+x,\ AK=\sqrt{(x-2)^{2}+2^{2}},\ KC=\sqrt{(x+2)^{2}+1}\)。

由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。

∴原函数的知域为{y|y≥5}。

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