函数专题–函数解析式的求法

作者: 吴老师 分类: 函数 发布时间: 2017-03-29 10:10 浏览: 44 次

函数常用的表示方法有解析法、列表法、图像法。函数的解析式就是用数学运算符号括号把数和表示数的字母连结而成的式子。函数解析式的求解方法有如下几种:

1、待定系数法在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。

例1  设f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,求f(x)

:设f(x)=ax+b   (a≠0),则

f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b

∴ \(\left\{\begin{matrix}
a^{2}=4\\
ab+b=3
\end{matrix}\right.\)

∴\(\left\{\begin{matrix}
a=2\\
b=1
\end{matrix}\right.\)

或\(\left\{\begin{matrix}
a=-2\\
b=3
\end{matrix}\right.\)

∴f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x+3

2、配凑法已知复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的解析式,f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域,而是g(x)的值域。

例2  已知\(f(x+\frac{1}{x})=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}(x> 0)\) ,求f(x)的解析式

解:\(\because f(x+\frac{1}{x})=(x+\frac{1}{x})^{2}-2\),\(x+\frac{1}{x}\geqslant 2\)

\(\therefore f(x)=x^{2}-2 (x\geqslant 2)\)

3、换元法:已知复合函数f[g(x)]的表达式时,还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。

例3  已知\(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}\),求\(f(x+1)\)

:令\(t=\sqrt{x}+1\),则\(t\geqslant 1,x=(t-1)^{2}\),

\(\because f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}\)

\(\therefore f(t)=(t-1)^{2}+2(t-1)=t^{2}-1\)

\(\therefore f(x)=x^{2}-1(x\geqslant 1)\)

\(\therefore f(x+1)=(x+1)^{2}-1=x^{2}+2x,(x\geqslant 0)\)

4构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。

例4  设f(x)满足\(f(x)-2f(\frac{1}{x})=x)\), 求f(x)

\(\because f(x)-2f(\frac{1}{x})=x\)①

显然x≠0,将x换成1/x,得:

\(f(\frac{1}{x})-2f(x)=\frac{1}{x}\) ②

解① ②联立的方程组,得:

\(f(x)=-\frac{x}{3}-\frac{2}{3x}\)

5赋值法当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。

例5 已知:f(0)=1,对于任意实数x、y,等式\(f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)\)恒成立,求f(x)

解 对于任意实数x、y,等式\(f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)\)恒成立,

不妨令x=0,则有\(f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y(y-1)=y^{2}-y+1\)

再令-y=x  得函数解析式为:\(f(x)=x^{2}+x+1\)

总之,求函数解析式的常用方法有:配凑法、换元法、待定系数法等。

如果已知函数解析式的类型,可用待定系数法;已知复合函数解析式时,可用换元法,这时要注意“元”的取值范围;当已知的表达式比较简单时,可用配凑法;若已知抽象的函数表达式,根据题目的条件特征,可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式。

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