函数专题–抽象函数的定义域

作者: 吴老师 分类: 函数 发布时间: 2017-03-27 08:55 浏览: 71 次

抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能按照常规方法求解。很多初学者往往被各种类似的题型弄晕,本文对抽象函数的定义域的求法进行总结,希望能帮助高中学子们

总结解题模板

1.已知f(x)的定义域,求复合函数f[g(x)]的定义域

由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若的定义域为,求出中的解的范围,即为的定义域。

例1:已知函数f(x)的定义域为[-1, 5],求f(3x-5)的定义域.

分析:若f(x)的定义域为\(a\leqslant x\leqslant b\),则在f[g(x)]中,从\(a\leqslant g(x)\leqslant b\)中解得x的取值范围即为f[g(x)]的定义域.本题该函数是由u=3x-5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x)与f(u)是同一个函数,因此这里是已知\(-1\leqslant u\leqslant 5\),即\(-1\leqslant 3x-5\leqslant 5\),求x的取值范围.

解:f(x)的定义域为[-1, 5],∴ \(-1\leqslant 3x-5\leqslant 5\),∴\(\frac{4}{3}\leqslant x \leqslant \frac{10}{3}\).

故函数f(3x-5)的定义域为\([\frac{4}{3},\frac{10}{3}]\).

变式训练:

若函数y=f(x)的定义域为[\(\frac{1}{2},2\)],则f(log2x)的定义域为           


2.已知复合函数f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域

方法是:若f[g(x)]的定义域为x∈(a, b),则由a<x<b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。

例2:已知函数f(x2-2x+2)的定义域为,求函数的定义域.

分析:若f[g(x)]的的定义域为\(m\leqslant x\leqslant n\),则由\(m\leqslant x\leqslant n\)确定的的g(x)范围即为f(x)的定义域.这种情况下,f(x)的定义域即为复合函数f[g(x)]的内函数的值域。本题中令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),由于f(x)与是f(u)同一函数,因此u的取值范围即为f(x)的定义域.

:由\(0\leqslant x\leqslant 3\),得\(1\leqslant x^{2}-2x+2 \leqslant 5\).

令\(u= x^{2}-2x+2 \),则\(f(x^{2}-2x+2)=f(u)\),\(1\leqslant u \leqslant 5\).

故f(x)的定义域为[1, 5].

变式训练:

已知函数y=f(log(x+1))的定义域为\(0\leqslant x\leqslant 9\),则的定义域为________。


3.已知复合函数f[g(x)]的定义域,求f[h(x)]的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由定义域求得的定义域,再由的定义域求得的定义域。

例3:函数y=f(x+1)定义域是[-2, 3],则y=f(2x-1)的定义域是                     

分析:已知f[g(x)]的定义域,求f[h(x)]的定义域,可先由f[g(x)]定义域求得f(x)的定义域,再由f(x)的定义域求得的f[h(x)]定义域

解:先求f(x)的定义域

f(x+1)的定义域是[-2, 3],\(\therefore -2\leqslant x \leqslant 3 \therefore 1\leqslant x+1 \leqslant 4\)

即f(x)的定义域是[-1, 4],再求f[h(x)]的定义域\(\because -1 \leqslant 2x-1 \leqslant 4 \therefore 0\leqslant x \leqslant \frac{5}{2}\)

∴f(2x-1)的定义域是[0, 5/2]

变式训练:

已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域.


4.已知f(x)的定义域,求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。

例4:若f(x)的定义域为[-3, 5],求\(\varphi (x)=f(-x)+f(2x+5)\)的定义域.

分析:求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.

解:由f(x)的定义域为[-3, 5],则\(\varphi (x)\)必有

\(\left\{\begin{matrix}
-3\leqslant -x \leqslant 5 & \\
-3\leqslant 2x+5 \leqslant 5 &
\end{matrix}\right.\)

解得\(-4\leqslant x\leqslant 0\).

所以函数\(\varphi (x)\)的定义域为[-4, 0].

变式训练:

已知函数f(x)的定义域是(0, 1],求g(x)=f(x+a)f(x-a),\(-\frac{1}{2}\leqslant a \leqslant 0\)的定义域。

大家可以尝试着做做上面的变式训练,如果有疑问欢迎留言^_^

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