高考数列10讲–第4讲(数列的最大与最小项问题)

作者: 吴老师 分类: 数列 发布时间: 2017-03-08 17:48 浏览: 114 次

数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题,也是函数最值问题的一个重要类型,问题的解答有下面一些方法:

1.直接求函数an=f(n)的最大值或最小值,根据f(n)的类型,并作出相应的变换,运用配方、重要不等式性质或根据f(n)本身的性质求出f(n)的最值,也可以考虑求导解决,但必须注意,不能直接对f(n)求导(因为只有连续函数才可导),而应先对f(n)所在的函数f(x)(x>0)求导,得到f(x)的最值,然后再分析f(n)的最值.

【例】求数列{\(a_{n}=\sqrt[n]{n}\)}的最大项与最小项.

[ 解析]通过计算可知:当n≥3时数列单调递减,由此可得最大项与最小项,但是用一般方法:an+1-an或者\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\) 却证明不了{an}的单调性.

考察函数\(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\)(x≥3)的单调性,利用求导可知,当x≥3时f'(x)<0,f(x)单调递减

故{an}的最大项为a3,最小项为a1

2.考察an=f(n)的单调性:an+1-an=f(n+1)-f(n)>0(或<0),或者若an>0,\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{f(n+1)}{f(n)}>1\),然后根据f(n)的单调判断f(n)的最值情况.

3.研究数列an=f(n)的正数与负数项的情况,这是求数列{an}的前n项和Sn的最大值或最小值的一种重要方法.

练习:

(1)已知\(a_{n}=\frac{n}{n^{2}+156}\)(\(n\in N_{+}\)),求数列{an}的最大项

提示:使用基本不等式

(2)数列{an}的通项公式是\(a_{n}=-2n^{2}+29n+3\),求{an}中最大项的值

提示:当成二次函数处理

(3)Sn=1+2+3+…+n,(\(n\in N_{+}\)),求\(f(n)=\frac{S_{n}}{(n+32)S_{n+1}}\)的最大值

提示:计算f(n+1)/f(n)

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