高考数列10讲–第3讲(数列证明题型总结)

作者: 吴老师 分类: 数列 发布时间: 2017-03-07 23:29 浏览: 98 次

高考题中,有关证明、判断数列是等差(等比)数列的题型比比皆是,如何处理这些题目呢?

证明或判断等差(等比)数列的方法常有四种:定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法

(1)证明数列是等差数列的充要条件的方法:

\(a_{n+1}-a_{n}=d\) (常数)  ⇔ \(a_{n}\)是等差数列

\(a_{2n+2}-a_{n}=d\) (常数)  ⇔ \(a_{2n}\)是等差数列

\(a_{3n+3}-a_{3n}=d\) (常数)  ⇔ \(a_{3n}\)是等差数列

(2)证明数列是等差数列的充分条件的方法:

\(a_{n}-a_{n-1}=d\) (n≥2)  ⇒ \(a_{n}\)是等差数列

\(a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}\) (n≥2)  ⇒ \(a_{n}\)是等差数列

(3)证明数列是等比数列的充要条件的方法:

\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\) (q≠0且为常数,a1≠0)  ⇔ \(a_{n}\)是等比数列

(4)证明数列是等比数列的充分条件的方法:

\(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q\) (q≠0且为常数,a1≠0)  ⇒ \(a_{n}\)是等比数列

注意事项:用定义法时常采用的两个式子\(a_{n}-a_{n-1}=d\) 和\(a_{n+1}-a_{n}=d\) 有差别,前者必须加上“n≥2”,否则n=1时a0无意义,等比中一样有:n≥2时,有\(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q\)(常数≠0)

二、中项法

(1)(充要条件)若\(2a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}\)  ⇔ \(a_{n}\)是等差数列

(充分条件)若\(2a_{n}=a_{n+1}+a_{n-1}\)  ⇒ \(a_{n}\)是等差数列

(2)(充要条件)若\(a_{n}a_{n+2}=a_{n+1}^{2}\) (\(a_{n}\neq0\)) ⇔ \(a_{n}\)是等比数列

(充分条件)若\(a_{n}^{2}=a_{n+1}a_{n-1}\) (n≥2)  ⇒ \(a_{n}\)是等比数列

三、归纳—猜想—数学归纳证明法

先根据递推关系求出前几项,观察数据特点,猜想、归纳出通项公式,再用数学归纳法给出证明。

这种方法关键在于猜想要正确,用数学归纳法证明的步骤要熟练,从“n=k时命题成立”到“n=k+1时命题成立”要会过渡.

四、反证法

解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑.

往往在高考数列大题的第一问中,证明一个复合数列是等差数列或等比数列,通常只适用前面两种方法就可以解决

这里必须清楚,给定一个数列的通项,要能写出这个数列的后一项,这样才能使用前面提供的方法

例题:

1、在数列{an}中,a1=1,\(a_{n+1}=2a_{n}+2^{n}\)

设\(b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n-1}}\),证明:数列{bn}是等差数列

2、已知数列{an}的各项为正数,前n项和为Sn,且满足:\(S_{n}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})\)

证明:数列{\({S_{n}}^{2}\)}是等差数列

3、在数列{an}中,\(a_{1}=\frac{1}{6}\),\(a_{n}=\frac{1}{2}a_{n-1}+\frac{1}{2}\frac{1}{3^{n}}\)(nN*n≥2).

证明:{\(a_{n}+\frac{1}{3^{n}}\)}是等比数列;

4、已知数列{an}满足a1=2,an1=2ann+1(nN*).

证明:数列{ann}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式

上面的4道题都是我们在做数列大题的时候经常遇到的题型,往往作为第一小问,方法就是使用定义来证明

大家可以尝试着做做上面的题目,如果有疑问欢迎留言^_^

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