谈谈三角形的五“心”

作者: 吴老师 分类: 几何 发布时间: 2017-03-03 17:05 浏览: 126 次

很多高中学生对于三角形的五“心”不熟悉,甚至可以说很陌生,由于在平面向量以及其他模块会有所涉及,吴老师在这里整理一下,以方便广大学子

三角形五“心”及其性质

 (三角形只有五种心,当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心)

1、重心:三角形三条中线的交点叫做三角形重心。

常用结论:(1)设三角形重心为OBC边中点为D,则有AO = 2 OD

(2)重心坐标为三顶点坐标平均值。

2、外心:三角形三边的垂直平分线的交点,称为三角形外心。

常用结论:外心到三顶点距离相等

过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心即三角形外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形有且只有一个外接圆

3、内心:三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

常用结论:内心到三边的距离相等。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心即是三角形内心。这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形有且只有一个内切圆。

4、垂心:三角形三边上的三条高线交于一点,称为三角形垂心。(垂心到顶点距离是外心到此顶点对边距离的2倍。

 锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角的顶点;钝角三角形的垂心在三角形外.

三角形只有一个垂心

5、旁心:与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆,旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点,即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。

三角形有三个旁切圆,三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。

旁心较少考查,在数学竞赛中才会有所涉及,大家可以只是了解一下,但前四种必须掌握其概念以及常用结论。

五心的性质

三角形的五心有许多重要性质,它们之间也有很密切的联系,如:

(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等;

(2)三角形的外心到三顶点的距离相等;

(3)三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成的三角形的垂心;

(4)三角形的内心、旁心到三边距离相等;

(5)三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心;

(6)三角形的外心是它的中点三角形的垂心;

(7)三角形的重心也是它的中点三角形的重心;

(8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.

(9)三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍.

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2条评论
  • dff

    2017年3月3日 下午5:25

    感谢吴老师的总结,最近在学平面向量,很有帮助

    1. 吴老师

      2017年3月3日 下午5:26

      客气,应该做的

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