平面向量10讲–第1讲(向量的基本概念)

作者: 吴老师 分类: 向量 发布时间: 2017-03-03 16:48 浏览: 129 次

平面向量在高中的算是比较特殊的一部分,又因为高考中的考查多数情况在选择题(在大题中不会独自考查,一般和其他的知识混合考查,用到一些公式变形,相对容易),而且难度一般不大,但是在辅导高一学生的时候,他们平时考试中的平面向量还是挺难的,所以很有必要出一个系列的文章来系统总结一下平面向量,方便广大学子。

本文主要讲一下向量的概念,这部分知识主要是区分和消化一些概念,为后面的学习打下基础。

向量的概念:

①向量:既有大小又有方向的量。所以在做向量题的时候,一定不要忘记考虑向量的方向!!!

向量一般用\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如\(\overrightarrow{AB}\);这种表示方法很直观表示向量的方向从A点指向B点

向量的大小即向量的(长度),记作|\(\overrightarrow{AB}\)|。即向量的大小,记作|\(\overrightarrow{a}\)|

注意:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.

②零向量:长度为0的向量,记为\(\overrightarrow{0}\),其方向是任意的,与任意向量平行。

很多学生对于这一点很难理解,这里的任意也包含零向量,也就是两个零向量也是互相平行的,有点不可思议,都是任意方向的两个向量居然是平行的,但是要注意的是,这是人为规定的。

零向量\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) ⇔ |\(\overrightarrow{a}\)|=0 ,由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.

这里还要注意\(\overrightarrow{0}\)与0的区别

③单位向量:模为1个单位长度的向量,通常用\(\overrightarrow{e}\)来表示。

向量\(\overrightarrow{a_{0}}\)为单位向量 ⇔  \(\left | \overrightarrow{a_{0}} \right |=1\)

这里还要注意:由于是非零向量,单位向量具有确定的方向。

对于单位向量,有下列结论:

一个非零向量除以它的模,可得所需单位向量。

\(\overrightarrow{e}=\frac{\overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}\)

注意:此时的单位向量的方向与向量\(\overrightarrow{a}\)相同,大小为1。

④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量。记作\(\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}\),由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.

⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等。

向量经过平移后总可以重合,记为\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}\)  大小相等,方向相同

⑥相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量,向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)相反, 记作\(\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{b}\) 或者\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\)

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