函数奇偶性进阶

作者: 吴老师 分类: 函数 发布时间: 2017-03-01 20:50 浏览: 65 次

在前面的一篇文章《谈谈函数奇偶性的判断方法》中总结了函数的奇偶性的基础性质与判定步骤,本文在教材的基础上进一步挖掘函数奇偶性的性质与结论。

奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;

②两个偶函数的和、积都是偶函数;

③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数

函数奇偶性的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单

调性,则其单调性恰恰相反.

(2)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).

(3)若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)=0.

     f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件.

(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”.

(5)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.

(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).

分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

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