函数专题-函数奇偶性的判断方法

作者: 吴老师 分类: 函数 发布时间: 2017-03-01 20:32 浏览: 72 次

今天在百度贴吧“高中数学吧”看到一个求助的帖子:关于求奇偶性的问题,一个高中生提出一个函数的奇偶性判定问题,紧接着有人给出了解答,思路是对的,但是过程有点错误,于是我在帖子后面给出了解答过程。

看来高中生们对函数的奇偶性判断问题还是存在一些疑惑的,本文将系统的总结这一问题,旨在帮助广大高中生朋友。

在高一必修一课本,刚开始接触函数的时候,有判断函数奇偶性的题目,初学者不容易理解奇偶性的精髓。

函数的奇偶性是函数的一个重要的性质,其重要性质体现在它与函数的其它各种性质的联系之中,

函数按照奇偶性划分,可分为四类:

  • 奇函数(非偶函数)
  • 偶函数(非奇函数)
  • 既是奇函数又是偶函数(既奇又偶函数)
  • 既不是奇函数又不是偶函数(非奇非偶函数)

那么,怎样来判断函数的奇偶性呢?

函数的奇偶性的判断应从两方面来进行,一是看函数的定义域是否关于原点对称(这是判断奇偶性的必要性)二是看f(x)与f(-x)之间的关系。

如果函数的定义域不关于原点对称,则直接得出结论:函数非奇非偶,只有满足这一前提,才能接着进行下面的判断。

这里的对称是严格的对称,比如[-2, 2)就是不对称

判断方法有以下三种:

1、利用奇偶函数的定义来判断(这是最基本,最常用的方法)

定义:如果对于函数 y=f(x) 的定义域A内的任意一个值x,都有f(-x) = – f(x) ,则这个函数叫做奇函数

如果f(-x) = f(x),则这个函数叫做偶函数

2、用求和(差)法判断

若f(-x) + f(-x) = 0,则f(x)为奇函数

若 f(-x) – f(-x) = 0,则f(x)为偶函数

3、用求商法判断

若\(\frac{f(-x)}{f(x)}\neq -1(f(x)\neq0)\),则f(x)为奇函数

若\(\frac{f(-x)}{f(x)}\neq 1(f(x)\neq0)\),则f(x)为偶函数

4、使用函数图像判断

偶函数 ⇔ 其图象关于y轴对称

奇函数 ⇔ 其图象关于原点对称

奇偶函数的性质

1、偶函数的图像关于y轴对称,在关于原点对称的区间上单调性相反;

2、奇函数的图像关于原点对称,在关于原点对称的区间上单调性相同,若在x=0处有定义,则有f(0)=0.

因此,我们也可以从函数的图象来判断函数的奇偶性,进而解决有关奇偶性的问题。

接下来是一些练习题:

判断下列函数的奇偶性

(1)\(f(x)=\frac{x^{2}+2}{x})\)    (2)\(f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1-x^{2}}\)

(3)\(f(x)=lg(\sqrt{1+x^{2}}+x)\)     (4)\(f(x)=x^{4}-2x^{2},x\epsilon [-2,2)\)

答案:(1)奇函数(2)偶函数(3)奇函数(4)非奇非偶

这里给出(3)的详细解答:

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