导数基础知识以及相关概念解惑

作者: 吴老师 分类: 导数 发布时间: 2017-03-01 19:34 浏览: 82 次

本文总结一下导数的公式以及相关的基础题型

导数基础知识

f(x)在x0处的导数(或变化率):

QQ截图20170301172402

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义:

函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0, f(x0))处的切线的斜率f'(x0),相应的切线方程是: y-y0=f'(x0)(x-x0)

几种常见函数的导数:

(1)C’=0(C为常数) (2)(xn)’=nxn-1 (n∈Q)

(3)(sinx)’=cosx       (4)(cosx)’=-sinx

(5)(lnx)’=1/x;   (logax)’=(1/x)logae

(6)(ex)’=ex;      (ax)=axlna

导数的运算法则:

(1)(u±v)’=u’±v’    (2)(uv)’=u’v+uv’    (3)(u/v)’=(u’v-uv’)/v2  (v≠0)

判别f(x0)是极大(小)值的方法

当函数f(x)在点x0处连续时,

(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则是极大值;

(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则是极小值.

取得极值的点称为极值点(类比零点的概念,那里我们仍然指的是自变量的值),极值点是自变量的值,极值指的是函数值。

请注意以下几点:

(ⅰ)极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

(ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,这个很容易理解

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。

极值点与导数的关系

在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有f'(x0)=0。但反过来不一定。反例:f(x)=x3

即:函数在x0处取得极值⇒ f'(x0)=0

可见前者是后者的一个充分非必要条件

接下来再看一个充分非必要条件:

x0左右侧导数异号 ⇒ x0是函数f(x)的极值点 ⇒ f'(x0)=0

于是有下面的两个命题:

1、可导函数的极值点导数一定等于0

但是如果没有前面的“可导”两个字就错了,如函数f(x)=|x|,在x=0 时是极值点,但是x=0这点导数不存在

2、导数等于0的点也不一定是极值点

如函数f(x)=x3 (还有其他的函数你可以自己举例子)

在x=0处导数等于0 但是x=0时不是极值点

要判断是否是极值点,除了导数等于0,还要判断这个点左右导数值是否相反.

极值与最值的区别

在一个区间内,函数的极值可能有多个,但是最大值和最小值只有各一个。

极值的取得只能在区间的内部,但是最值为极值与端点处的值比较得到,例如:求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值

假设 f(x)的极大值点为x0,x1,x2,……,xn

则 f(x)max = max{f(x0), f(x1), f(x2) ,…… , f(xn), f(a), f(b)}

本文完,如果同学们有什么疑问或者要求可以在文章下面留言

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