常见不等式通用解法总结

作者: 吴老师 分类: 不等式 发布时间: 2017-03-01 14:54 浏览: 223 次

高中生对解不等式的掌握通常不够系统,尤其是理科生,高考覆盖面广,包括分式不等式、绝对值不等式、高次有理不等式、无理不等式……,本文将对常见不等式通用解法进行总结,帮助在这方面有疑惑的高中学子们。

一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式

①基础一元二次不等式

如 2x2-x-6>0,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。

当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。

当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。

②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元)

如3x+1-9x>2,令t=3x,原不等式就变为t2-3t+2<0,再算出t的范围,进而算出x的范围

③含参数的一元二次不等式

解法步骤总结:

序号 步骤
1 首先判定二次项系数是否为0,为0则化为一元一次不等式,再分类讨论
2 二次项系数非0,将其化为正的,讨论判别式的正负性,从而确定不等式的解集
3 若可以直接看出两根,或二次式可以因式分解,则无需讨论判别式,直接根据不同的参数值比较两根大小
4 综上,写出解集

如不等式,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论的正负性即可。

二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式

这种问题的一般形式是(x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-a4)<0(或>,≥,≤)

步骤:

①将不等式化为标准式,一段为0,另一端为一次因式的乘积(注意!系数为正)或二次不可约因式(二次项系数为正)

②画出数轴如下,并从最右端上方起,用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。

③记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集。

例如,求不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>0的解集,画出图如下,发现解集为(-∞, 1)∪(2, 3)∪(4, +∞)

QQ截图20170228233010

遇到奇数个一次项系数为负的情况,如果不把系数化为正的,结果一定是错误的。

注意:这种方法要灵活使用,若不等式为(x-1)2(x-2)(x-3)(x-4)>0,使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样,因为是偶次项,必然非负,所以在“穿针引线”时,可以忽略,或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。

(x-1)2(x-2)(x-3)(x-4)>0 的示意图见下:

QQ截图20170301141303

三、分式不等式

分式不等式的解题思路,前面讲了一些不等式的求解,都是讲不等式的一边化为0,另一边为含x的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理,最终总能化为\(\frac{f(x)}{g(x)}<0\)(或>,≥,≤的形式),此时解f(x)g(x)<0就可以解出原不等式的解集。

特别地,若要解\(\frac{f(x)}{g(x)}\leqslant 0\),则解 f(x)g(x)≤0 且 g(x)≠0 即可。

例如 \(\frac{2x-8}{x^{2}-x-6}\leqslant 1\),移项化简得\(\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-x-6}\geqslant 0\),使用穿针引线法得到解集为{x|x<-2或1≤x≤2或x>3},一定要注意分母不为零,而分子可以为零

四、绝对值不等式

对于含有绝对值的不等式,解题思想为:

①直接脱去绝对值符号

|f(x)|<g(x)  ⇔ -g(x)<f(x)<g(x),|f(x)|>g(x)  ⇔ f(x)>g(x) 或者 f(x)<-g(x)

②构造函数,数形结合

③在不等式的一端有多个绝对值时,使用零点分段法分类讨论(分类讨论思想随处可见

④平方法(不等式两边都是非负时才能用,慎用)

绝对值不等式的零点分段法,以及特别的做题技巧:

例如:|x-1|+|x+2|≥5,发现不等号左边有两个绝对值,所以应该根据两个不同的零点分段讨论

①当x≥1时,原不等式化为2x+1≥5,解得x≥2

②当-2≤x<1时,原不等式化为3≥5,显然无解

③当x<-2时,原不等式化为-2x-1≥5,解得x≤-3

综上,原不等式的解集为三种情况下的并集(注意,为什么是并集而不是交集?),(-∞,-3]∪[2,+∞)

练习:例1:若存在实数x使得不等式|x+1|+|x-a|≤1成立,则a的取值范围是                ?(答案:[-2,0])

例2:不等式|x+2|-|x-1|≤2的解集是               ?(答案:(-∞,1/2])

五、无理不等式

无理不等式能出的考题较少,主要是要注意偶次根号下式子要非负。(终于可以用平方法了,但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用)。

对于奇次根号,由于不需考虑根号下式子的正负性,直接打开根号即可。

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3条评论
  • hao

    2017年3月7日 下午1:40

    总结得很好很全面,受益匪浅,感谢吴老师

    1. 吴老师

      2017年3月23日 上午11:16

      客气客气,希望继续关注吴老师的博客

  • 三五豪侠传

    2017年3月1日 下午3:30

    拜读大侠博客,感悟人生道理!

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